lunes, 15 de octubre de 2012

Polígonos


Un polígono es una figura plana con lados rectos.

¿Es un polígono?

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono
(lados rectos)
No es un polígono
(tiene una curva)
No es un polígono
(abierto, no cerrado)

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!
Polígono simple
(este es un pentágono)
Polígono complejo
(también es un pentágono)

Cóncavo o convexo

Un polígono convexo no tiene ángulos que apunten hacia dentro. En concreto, los ángulos internos no son mayores que 180°. Como tambien Una figura es convexa si para todo par de puntos que pertenecen a la figura el segmento que los une pertenece a la figura.
Si hay algún ángulo interno mayor que 180° entonces es cóncavo. (Para acordarte: cóncavo es como tener una "cueva"), la figura tambien es concava si al menos el segmento que une un par de puntos pertenecientes a la figura no pertenece a ella.
ConvexoCóncavo

Regular o irregular

Si todos los ángulos son iguales y los lados también, es regular, si no es irregular
RegularIrregular
NombreLadosFormaÁngulo interior
Triángulo (o trígono)360°
Cuadrilátero (o tetrágono)490°
Pentágono5108°
Hexágono6120°

Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com

Ángulos

Los ángulos miden la cantidad de giro

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulosDescripción
Ángulo agudoun ángulo de menos de 90°
Ángulo rectoun ángulo de 90°
Ángulo obtusoun ángulo de más de 90° pero menos de 180°
Ángulo llanoun ángulo de 180°
Ángulo reflejo o cóncavoun ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas

Este ángulo es obtuso.
Este ángulo es reflejo.
Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate
de que sabes cuál de los ángulos necesitas!


Partes de un ángulo

La esquina de un ángulo se llama vértice
Y los lados rectos son rayos
El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Ángulos suplementarios

Dos angulos son suplementarios si suman 180 grados.


Estos dos ángulos (140° y 40°) son ángulos suplementarios, porque suman 180°.
Fíjate en que al ponerlos juntos tenemos unángulo llano.
Pero no hace falta que los ángulos estén juntos.
Estos dos son suplementarios porque 60° + 120° = 180°

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman 90 grados (un ángulo recto).


Estos dos ángulos (40° y 50°) son ángulos complementarios, porque suman 90°.
Fíjate en que juntos hacen un ángulo recto.
Pero los ángulos no tienen por qué estar juntos.
Estos dos son complementarios porque 27° + 63° = 90°

Ángulos interiores

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. (ver ángulos suplementarios)

Ángulos exteriores

Un ángulo exterior es un ángulo entre un lado de una figura y la línea que se extiende desde el lado siguiente.

Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. (Ver ángulos suplementarios)
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com

Lineas


Concepto de línea.

Todas las figuras, en último análisis, están compuestas por puntos, que es la unidad gráfica mínima.
Una cierta cantidad de puntos situados cada uno junto al otro, en una misma dirección, dan origen a un trazo contínuo, que es una línea.
dirección, dan origen a un trazo contínuo, que es una línea.


Una línea es una sucesión contínua de puntos:

——————————————


 Las líneas pueden ser:
  • Rectas — cuando todos los puntos se encuentran alineados en una misma dirección.
Curvas — cuando los puntos no se encuentran alineados en una misma dirección; aunque, al menos durante cierta distancia, el cambio de dirección responda a un criterio de continuidad.
La línea recta, la semirrecta, el segmento de recta.
 Si bien una línea recta se dibuja siempre con una cierta extensión delimitada — por razones prácticas dado que sería imposible dibujar una recta sin final — en geometría se utiliza el concepto ideal de que una recta es de longitud infinita en sus dos extremos.
A los efectos de su individualización en el estudio, las líneas rectas se designan con una letra minúscula, siguiendo el orden del abecedario:
         a                                                    b         
 Cuando se desea delimitar una recta, se marca sobre ella un punto, al cual se llamaorigen. También por un motivo convencional, en geometría todo punto se individualiza con una letra mayúscula, siguiendo el orden alfabético.
Cuando en una recta se encuentra marcado un origen, A, cada uno de los tramos a partir del origen, constituye una semirrecta:
         a                  A           b
———————|—————
Cuando en una recta se marcan sobre ella dos puntos, a los cuales se llamaextremos, el tramo de recta comprendido entre esos dos puntos constituye unsegmento de recta; que se individualiza mencionando sus extremos, como el segmento A,B:
         A                          B  
——|———————|———
Generalmente, se traza un segmento solamente entre sus extremos:
A                    B
|—————|
Clases de líneas rectas en el espacio.
 Atendiendo a la posición que una recta asume en el espacio, en relación a la fuerza de gravedad o atracción terrestre


Clases de rectas en un plano.
 Dos rectas — o más — pueden encontrarse entre sí en distintas posiciones posibles:


  

·  Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan paralelas — cuando todos los puntos de ambas se encuentran a la misma distancia.
·  Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan divergentes — cuando los puntos de ambas van aumentando su distancia.
·  Dos rectas ubicadas en el mismo plano se denominan convergentes — cuando los puntos de ambas van dismuyendo su distancia; y eventualmente ambas rectas se cruzan en un punto.

 Es fácil advertir que en los dos últimos casos, en realidad se está haciendo referencia a semirrectas; por cuanto las divergentes resultan convergentes si se invierte el sentido de la comparación de sus distancias, y las convergentes, luego de cruzarse, se tornan divergentes.



Clases de rectas convergentes.
 Las rectas convergentes, pueden ser:
  • Perpendiculares — cuando dividen el plano en cuatro partes iguales; es decir, cuando al cruzarse ninguna resulta estar inclinada respecto de la otra.
·                     Oblicuas — cuando se cruzan en forma inclinada entre ellas, y por lo tanto dividen el plano en cuatro sectores de los cuales dos son iguales, pero distintos de los otros dos que a su vez son iguales entre sí.


Triangulos

Un triangulo tiene tres ángulos y tres lados y la suma de sus tres ángulos interiores es 180º

Equilátero, isósceles y escaleno
Hay tres nombres especiales de triángulos que indican cuántos lados (o ángulos) son iguales.

Puede haber 32 o ningún lados/ángulos iguales:
Triángulo equilátero

Triángulo equilátero

Tres lados iguales
Tres ángulos iguales, todos 60°
Triángulo isósceles

Triángulo isósceles

Dos lados iguales
Dos ángulos iguales
Triángulo escaleno

Triángulo escaleno

No hay lados iguales
No hay ángulos iguales

¿Qué tipos de ángulos?

Los triángulos también tienen nombres que te dicen los tipos de ángulos
Triángulo acutángulo

Triángulo acutángulo

Todos los ángulos miden menos de 90°
Triángulo rectángulo

Triángulo rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°)
Triángulo obtusángulo

Triángulo obtusángulo

Tiene un ángulo mayor que 90°

Combinar los nombres

A veces los triángulos tienen dos nombres, por ejemplo:
Triángulo isósceles rectángulo

Triángulo isósceles rectángulo

Tiene un ángulo recto (90°), y los otros dos ángulos iguales

¿Adivinas cuánto miden?
Si, 45º

Área

Área = ½bh
La fórmula (1/2)bh vale para todos los triángulos. Asegúrate de que la "h" la mides perpendicularmente a la "b".
Área del triángulo
Imagina que "doblas" el triángulo (volteándolo a lo largo de uno de los lados de arriba) para tener una figura de cuatro lados (que será en realidad un "paralelogramo"), entonces el área sería bh. Pero eso son dos triángulos, así que uno solo es (1/2)bh.

Ternas pitagóricas

Son simplemente números enteros que cumplen la regla:
a2 + b2 = c2
(esta es la ecuación del teorema de Pitágoras)
Algunos ejemplos:
Terna pitagóricaTerna pitagóricaTerna pitagórica
Triángulo 3,4,5Triángulo 5,12,13Triángulo 9,40,41
32 + 42 = 5252 + 122 = 13292 + 402 = 412
Fuente: http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/pitagoricas-ternas.html

Cuadriláteros

Cuadrilátero significa "cuatro lados"
(cuad significa cuatro, látero significa lado).
Las figuras de cuatro lados se llaman cuadriláteros.
Pero los lados tienen que ser rectos, y la figura tiene que ser bidimensional.



Tipos de cuadriláteros


Hay algunos tipos especiales de cuadriláteros:
  • el rectángulo
  • el rombo
  • el cuadrado
  • el trapecio
(todos estos son paralelogramos), y también hay:
  • el trapezoide
  • el romboide
Si no es ninguna de estos es un cuadrilátero irregular.
Aquí tienes los detalles:

El rectángulo

Rectángulo
significa "ángulo recto"
 y 
indican lados iguales
Un rectángulo es una figura de cuatro lados cuyos ángulos son todos rectos (90°).
Además los lados opuestos son paralelos y de la misma longitud.

El rombo

Rombo
Un rombo es una figura de cuatro lados cuyos lados son todos iguales.
Además los lados opuestos son paralelos y los ángulos opuestos son iguales.
Otra cosa interesante es que las diagonales (las líneas de puntos en la segunda figura) se cortan en ángulos rectos, es decir, son perpendiculares.

El cuadrado

Cuadrado
significa "ángulo recto"
indica lados iguales
Un cuadrado es una figura de cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos (90°)
Además los lados opuestos son paralelos.
Un cuadrado también es un rectángulo (ángulos de 90°) y un rombo (lados iguales).

El paralelogramo

Paralelogramo
Los lados opuestos son paralelos y de igual longitud, y los ángulos opuestos son iguales (los ángulos "a" son iguales, y los ángulos "b" son iguales)

NOTA: ¡todos los cuadrados, rectángulos y rombos son paralelogramos!
Ejemplo: si un paralelogramo tiene todos los lados iguales y los ángulos "a" y "b" son rectos, entonces es un cuadrado.

El trapezoide

Trapezoide
Trapezoide
Trapezoide regular
Un trapezoide tiene un par de lados paralelos.
Se llama trapezoide regular si los lados que no son paralelos tienen la misma longitud y si los dos ángulos sobre un lado paralelo son iguales, como en el dibujo.
Un trapezoide no es un paralelogramo porque sólo un par de lados es paralelo.

El deltoide

Deltoide
Mira, parece una cometa. Tiene dos pares de lados, Cada par son dos lados adyacentes (que se tocan) de la misma longitud. Los ángulos donde se encuentran los pares son iguales. Las diagonales (líneas de puntos) son perpendiculares, y una de las diagonales bisecta (divide por la mitad) a la otra.

... y esos son los cuadriláteros especiales; si uno no es de estos tipos, es un cuadrilátero irregular

Cuadriláteros irregulares

Cuadriláteros irregulares
Un cuadrilátero que no encaja en ninguno de los tipos anteriores.

Polígonos

Un cuadrilátero es un polígono. De hecho es un polígono de 4 lados, de la misma manera un triángulo es un polígono de 3 lados, un pentágono es un polígono de 5 lados, etc.

Otros nombres

Quadrángulo ("cuatro ángulos") y tetrágono ("cuatro y polígono") son otros nombres para los cuadriláteros.